Question

（2013•遼寧一模）已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A=θ，若

cosB

sinC

AB

+

cosC

sinB

AC

=2m

AO

，則m=

sinθ

．（用θ表示）

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，取AB的中點(diǎn)為D，根據(jù)平面向量的平行四邊形法則可得

AO

=

AD

+

DO

，代入已知的等式中，連接OD，可得

AD

⊥

AB

，可得其數(shù)量積為0，在化簡后的等式兩邊同時乘以

AB

，整理后利用向量模的計算法則及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡，再利用正弦定理變形，并用三角函數(shù)表示出m，利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理得到cosB=-cos（A+C），代入表示出的m式子中，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，抵消合并約分后得到最簡結(jié)果，把∠A=θ代入即可用θ的三角函數(shù)表示出m．

解答：解：取AB中點(diǎn)D，則有

AO

=

AD

+

DO

，
代入

cosB

sinC

AB

+

cosC

sinB

AC

=2m

AO

得：

cosB

sinC

AB

+

cosC

sinB

AC

=2m(

AD

+

DO

)，
由

OD

⊥

AB

，得

DO

•

AB

=0，
∴兩邊同乘

AB

，化簡得：

cosB

sinC

AB

•

AB

+

cosC

sinB

AC

•

AB

=2m(

AD

+

DO

)•

AB

=m

AB

•

AB

，
即

cosB

sinC

c2+

cosC

sinB

bc•cosA=mc2，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化簡得：

cosB

sinC

sin2C+

cosC

sinB

sinBsinCcosA=msin2C，
由sinC≠0，兩邊同時除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=

cosB+cosAcosC

sinC

=

-cos(A+C)+cosAcosC

sinC

=

-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC

sinC

=sinA，
又∠A=θ，
則m=sinθ．
故答案為：sinθ

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形外接圓的性質(zhì)，利用兩向量的數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．