Question

（2013•遼寧一模）已知：函數(shù)f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值的集合A；
（2）當(dāng)m取集合A中的最小值時(shí)，定義數(shù)列{a_n}：滿足a₁=3，且a_n＞0，an+1=

-3f′(an)+9

-2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）若b_n=na_n數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：Sn＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）是增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得m≥3x²對(duì)任意x∈（0，1）恒成立，從而求出m的范圍，即求出集合A；
（2）由（1）中的m的最小值為3，得到f′（x），從而將an+1=

-3f′(an)+9

-2變形得到數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由（2）可求b_n=na_n=2n•3^n-1+nS_n=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1）+（1+2+3+…+n），再利用錯(cuò)位相減法化簡(jiǎn)得到S_n=

1

2

+

(2n-1)3n

2

+

(1+n)n

2

，顯然sn＞

1

2

，從而得證．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+m≥0對(duì)任意x∈（0，1）恒成立，
所以：m≥3x²對(duì)任意x∈（0，1）恒成立，得m≥3即A=[3，+∞）
（2）由m=3得：f（x）=-x³+3x?f′（x）=-3x²+3
所以：an+1=

-3(-3an2+3)+9

-2…(an＞0)
得：a_n+1-1=3（a_n-1）所以數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列
所以：a_n-1=2•3^n-1?a_n=2•3^n-1+1
（3）b_n=na_n=2n•3^n-1+nS_n=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1）+（1+2+3+…+n）
令：T_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1
3 T_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ
-2 T_n=3⁰+3¹+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=

1•(1-3n)

-2

-n•3ⁿ=

1-3n+2n3n

-2

所以T_n=

1+(2n-1)3n

4

S_n=

1

2

+

(2n-1)3n

2

+

(1+n)n

2

＞

1

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及數(shù)列求和常用的方法--錯(cuò)位相減法．