Question

現有A，B，C，D四個盛滿水的長方體容器，A，B的底面積均為a²，高分別為a，b，C，D的底面積均為b²，高分別為a，b（a≠b）．現規定一種游戲規則，每人一次從四個容器中取兩個，盛水多者為勝，問先取者有無必勝的把握？若有的話，有幾種方案？

Answer 1

分析：分3種情況：：（1）若先取A、B，后者只能取C、D；（2）若先取A、C，后者只能取B、D；（3）若先取A、D，后者只能取B、C；分別作差比較大小可得．

解答：解：（1）若先取A、B，后者只能取C、D，
因為（a³+a²b）-（ab²+b³）=a²（a+b）-b²（a+b）=（a+b）²（a-b），
顯然（a+b）²＞0，而a，b的大小不定，所以（a+b）²（a-b）正負不確定，
所以這種取法沒有必勝的把握；
（2）若先取A、C，后者只能取B、D，
因為（a³+b²a）-（ba²+b³）=a（a²+b²）-b（a²+b²）=（a²+b²）（a-b），
顯然a²+b²＞0，而a，b的大小不定，所以（a²+b²）（a-b）正負不確定，
所以這種取法沒有必勝的把握；
（3）若先取A、D，后者只能取B、C，
因為（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）=（a+b）（a-b）²，
又a≠b，a＞0，b＞0，所以（a+b）（a-b）²＞0，即a³+b³＞a²b+ab²，
故先取A、D是唯一必勝的方案．

點評：本題考查不等式比較大小，涉及分類討論的思想，屬基礎題．