Question

如圖所示，現有A，B，C，D四個海島，已知B在A的正北方向15海里處，C在A的東偏北30°方向，又在D的東偏北45°方向，且B，C相距21海里，求C，D兩島間的距離．

Answer 1

分析：根據題意，設A、C兩島相距x海里，△ABC中由余弦定理列出關于x的二次方程，解之得到x=24，然后求出∠ADC=135°，在△ADC中由正弦定理列式得

CD

sin30°

=

AC

sin135°

，即可解出CD=12

2

，可得C、D兩島間的距離．

解答：解：設A、C兩島相距x海里，
∵C在A的東偏北30°方向，∴∠BAC=60°，
在△ABC中，由余弦定理得
21²=15²+x²-2×15x×cos60°，
化簡得x²-15x-216=0，解得x=24或-9（舍去負值）…（6分）
∵C在D的東偏北30°方向，∴∠ADC=135°，
在△ADC中，由正弦定理得

CD

sin30°

=

AC

sin135°

，
∴CD=

ACsin30°

sin135°

=

24× 1 2

2 2

=12

2

即得C、D兩島間的距離為12

2

海里．…（12分）

點評：本題給出實際應用問題，求C、D兩島之間的距離．著重考查了航海測量的概念和利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．