【題目】求所有正整數
，使得給定序列
，
，中的每一項都是平方數。
【答案】見解析
【解析】
解法1 由已知可得
，
.
則
.
故
.
當
時，有
.
當
時，有
.
當
時，
.
由于
與
互質，則與是一組本原勾股數.
因此，存在互質的正整數
，且
，
使得（1）
（2）
第（1）種情形中，由式①、②得
. ④
由上式知
為奇數，則
為偶數，
為奇數.
于是，由式②及
，知
. ⑤
再利用式④得
.
則
， ⑥
其中，
是相鄰的兩個整數.
由于它們互質，則
.
于是，
.
若
，則
.
此式具有
的形式，已證明它沒有滿足
的整數解，故
，矛盾.
若
，則
.
此式具有
的形式，也已證明它沒有滿足的整數解，故
.
于是，
.
由式④得
.
由式②知
，從而，
.
第（2）種情形下，沒有滿足條件的正整數解.
綜上，找到了關于
的所有選擇
.
當時，得到一個各項均為平方數的周期序列：4,4,0,4,4,0，….
當時，得到一個各項均為平方數4的常數序列：4,4,4,4，….
當時，
，
，
，
，
，
……
由此可猜測此序列是斐波那契數列中奇數項的平方的4倍，即
.
如果
是斐波那契數列，易知
及
，
故
為平方數.
因此，
，
即
為平方數.
這說明符合題設要求.
綜上，所有的取值為1,3,9.
解法2 由
，
，
得
.
于是，
是偶數，又是平方數.
故可設
.
從而，
.
則
.
故
，
.
由
是平方數，可設
. ①
當
時，.
此時，
，
，
.
從而，數列
的周期數列：
4,4,0,4,4,0，….
因此，滿足條件.
當
時，
.
從而，數列為常數數列； 4,4,4，….
因此，滿足條件.
當
時，有式①知
， ②
.
故
.
從而，
，即式②等號成立.
于是
.此時，
.
以下同解法1.
口算題卡加應用題集訓系列答案
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的展開式中第5項與第7項的二項數系數相等，且展開式的各項系數之和為1024，則下列說法正確的是（ ）
A.展開式中奇數項的二項式系數和為256
B.展開式中第6項的系數最大
C.展開式中存在常數項
D.展開式中含
項的系數為45
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M為橢圓上第一象限內一動點，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線MB與x軸交于點C，直線MA與y軸交于點D，求證：四邊形ABCD的面積為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某水果經銷商為了對一批剛上市水果進行合理定價，將該水果按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數據，如表所示：
試銷單價 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
日銷售量 | 168 | 146 | 120 | 90 | 56 |
（1）已知變量
具有線性相關關系，求該水果日銷售量
（公斤）關于試銷單價
（元/公斤）的線性回歸方程，并據此分析銷售單價
時，日銷售量的變化情況；
（2）若該水果進價為每公斤
元，預計在今后的銷售中，日銷售量和售價仍然服從（1）中的線性相關關系，該水果經銷商如果想獲得最大的日銷售利潤，此水果的售價
應定為多少元？
（參考數據及公式：
，
，
，線性回歸方程
，
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四邊形ABCD外切于
，△ACB的內切圓
與邊AB、BC的切點分別為P、Q，，△ACD的內切圓
與邊CD、DA的切點分別為R、S. 求證：三條直線PQ、RS、AC共點或平行．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)討論f(x)的單調性．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小趙和小王約定在早上
至
之間到某公交站搭乘公交車去上學，已知在這段時間內，共有
班公交車到達該站，到站的時間分別為
，，如果他們約定見車就搭乘，則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學的概率為__________．
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