Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，數列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲線y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試找整數M，使M＜S₃₁＜M+1．

Answer 1

考點：數列的應用,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）證明數列{

1

an2

}是等差數列，首項為1，公差d=4，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用放縮法，即可找整數M，使M＜S₃₁＜M+1．

解答： 解：（1）∵點P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲線y=f（x）上，
∴-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

且a_n＞0
∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∴數列{

1

an2

}是等差數列，首項為1，公差d=4，
∴

1

an2

=4n-3，
∴a_n²=

1

4n-3

∵a_n＞0
∴a_n=

1

4n-3

…（6分）
（2）n≥2時，a_n=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

，
a_n=

2

2 4n-3

＜

2

4n-3 + 4n-7

=

4n-3 - 4n-7

2

∴S₃₁＞1+

9 - 5

2

+

13 - 9

2

+…+

125 - 121

2

=1+

125 - 5

2

＞5
S₃₁＜1+

5 -1

2

+…+

121 - 117

2

=6
因此整數M=5．

點評：本題考查數列通項公式的求法和不等式的證明，解題時要認真審題，注意數列性質的合理運用．