Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為 為參數），過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點.

（1）求的取值范圍；

（2）求中點的軌跡的參數方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) （為參數， ）.

【解析】

（1）求出曲線和直線的普通方程，通過直線與圓相交求出斜率的范圍，從而得出傾斜角的范圍；

（2）設出對應的參數，聯立直線與圓的方程，借助韋達定理表示的參數，從而得出點的軌跡的參數方程.

解：（1） 曲線的直角坐標方程為,

當時，與交于兩點，

當時，記，則的方程為，

與交于兩點當且僅當，

解得或，

即或，

綜上的取值范圍是.

（2）的參數方程為（為參數，），

設對應的參數分別為，

則且滿足，

由韋達定理可得：，

故 ,

又點的坐標滿足

所以點的軌跡的參數方程為 （為參數， ）.