Question

【題目】已知拋物線的焦點為，直線：交拋物線于兩點，．

（1）若的中點為，直線的斜率為，證明：為定值；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線與拋物線方程可得：x1＋x2＝4k，即可求得AB的中點坐標為T（2k，1），問題得證。

（2）由弦長公式得：，再求得點M到直線距離為，由（1）可得，即可得，記：，令，則，，利用導數即可求得，問題得解。

（1）證明：聯立，消去y得，x2－4kx－4b＝0，

△＝16k2＋16b＞0，即k2＋b＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，

因為|AF|＋|BF|＝4，

由拋物線定義得y1＋1＋y2＋1＝4，得y1＋y2＝2，

所以AB的中點坐標為T（2k，1），

所以，

所以．

（2）由（1）得|x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝16（k2＋b），

，

設點M到直線距離為d，

則，

而由（1）知，y1＋y2＝kx1＋b＋kx2＋b＝k（x1＋x2）＋2b＝4k2＋2b＝2，

即2k2＋b＝1，即b＝1－2k2，

由△＝16k2＋16b＞0，得0＜k2＜1，

所以

，

記：

令t＝k2，0＜t＜1，則

記

f（t）＝（1＋t）2（1－t）＝1＋t－t2－t3，0＜t＜1，

f'（t）＝1－2t－3t2＝（t＋1）（－3t＋1），

當時，f'（t）＞0，f（t）為增函數；

當時，f'（t）＜0，f（t）為減函數；

當，，

所以，S△ABM的最大值為．