Question

【題目】已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，直線：y＝kx＋b（k≠0）交拋物線C于A、B兩點，|AF|＋|BF|＝4，M（0，3）．

（1）若AB的中點為T，直線MT的斜率為，證明：k· 為定值；

（2）求△ABM面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）聯立求出AB的中點坐標為T（2k，1），再計算得k·＝－1．（2）先求出點M到直線l距離，再求出，再求出 ，最后構造函數利用導數求面積的最大值得解.

（1）證明：聯立，消去y得，x2－4kx－4b＝0，

△＝16k2＋16b＞0，即k2＋b＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

由韋達定理得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，

因為|AF|＋|BF|＝4，

由拋物線定義得y1＋1＋y2＋1＝4，得y1＋y2＝2，

所以AB的中點坐標為T（2k，1），

所以，所以k·＝－1．

（2）由（1）得|x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝16（k2＋b），

，

設點M到直線l距離為d，則，

而由（1）知，y1＋y2＝kx1＋b＋kx2＋b＝k（x1＋x2）＋2b＝4k2＋2b＝2，

即2k2＋b＝1，即b＝1－2k2，由△＝16k2＋16b＞0，得0＜k2＜1，

所以 ，

令t＝k2，0＜t＜1，設f（t）＝（1＋t）2（1－t）＝1＋t－t2－t3，0＜t＜1，

＝1－2t－3t2＝（t＋1）（－3t＋1），時，＞0，f（t）為增函數；

時，＜0，f（t）為減函數；

所以當，，

所以，S△ABM的最大值為．