Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在上單調遞增，求實數的值；

（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）求出導數，問題轉化為在上恒成立，利用導數求出的最小值即可求解；

（2）分別設切點橫坐標為，利用導數的幾何意義寫出切線方程，問題轉化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數的導數及零點存在性定理即可證明存在.

（1），

函數在上單調遞增等價于在上恒成立．

令，得，

所以在單調遞減，在單調遞增，則．

因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；

又

，

所以，即．

（2）設的切點橫坐標為，則

切線方程為……①

設的切點橫坐標為，則，

切線方程為……②

若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得

即

令，則

所以，函數在區間上單調遞增，

，使得

時總有

又時，

在上總有解

綜上，函數與總存在公切線．