Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值；
（3）若點M在線段EF上運動，設平MAB與平FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，

∴AB=2，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3，

∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC，

∵平面ACFE⊥平面ABCD，

平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC平面ABCD，

∴BC⊥平面ACFE．

（2）解：取FB中點G，連接AG，CG，

∵AF= =2，∴AB=AF，∴AG⊥FB，

∵CF=CB=1，∴CG⊥FB，∴∠AGC=θ，

∵BC=CF，∴FB= ，∴CG= ，AG= ，

∴cosθ= = ．

（3）解：由（2）知：

①當M與F重合時，cosθ= ．

②當M與E重合時，過B作BN∥CF，且使BN=CF，

連接EN，FN，則平面MAB∩平面FCB，

∵BC⊥CF，AC⊥CF，∴CF⊥平面ABC，∴BN⊥平面ABC，

∴∠ABC=θ，∴θ=60°，∴cosθ= ．

③當M與E，F都不重合時，令FM=λ，0＜λ＜ ，

延長AM交CF的延長線于N，連接BN，

∴N在平面MAB與平面FCB的交線上，

∵B在平面MAB與平面FCB的交線上，

∴平面MAB∩平面FCB=BN，

過C作CH⊥NB交NB于H，連接AH，

由（1）知，AC⊥BC，

又∵AC⊥CN，∴AC⊥平面NCB，∴AC⊥NB，

又∵CH⊥NB，AC∩CH=C，∴NB⊥平面ACH，

∴AH⊥NB，∴∠AHC=θ，

在△NAC中，NC= ，

從而在△NCB中，CH= ，

∵∠ACH=90°，∴AH= = ，

∴cosθ= = ，

∵0 ，

∴ ，

綜上所述，cosθ∈[ ， ]．

【解析】（1）在梯形ABCD中，由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，推導出AB2=AC2+BC2 ， BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，能證明BC⊥平面ACFE．（2）取FB中點G，連接AG，CG，由AF= =2，知AB=AF，AG⊥FB，由CF=CB=1，CG⊥FB，∠AGC=θ，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．（3）由點M在線段EF上運動，分當M與F重合，M與E重合時，當M與E，F都不重合三種情況進行分類討論，能求出cosθ的取值范圍．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．