Question

已知定義在R上函數(shù)f（x）=

x+b

x2+ax+1

為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程關系即可求a+b的值；
（Ⅱ）利用判別式法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可求函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）為R上的奇函數(shù)，知f（0）=0，f（-1）=-f（1），
即f（0）=b=0，

-1

1-a+1

=-

1

1+a+1

，
由此解得a=0，b=0，故a+b=0．
（Ⅱ）f（x）=

x

x2+1

，設y=

x

x2+1

，則等價為方程yx²-x+y=0有根，
當y=0時，根為x=0符合；
當y≠0時，則△=1-4y²≥0，
于是-

1

2

≤y≤

1

2

且y≠0；
綜上-

1

2

≤y≤

1

2

，
綜上，值域為[-

1

2

，

1

2

]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及函數(shù)值域的求解，利用判別式法是解決本題的關鍵和技巧．