Question

已知函數f（x）=|x²-1|，g（x）=x²+ax+2，x∈R．
（Ⅰ）若函數g（x）≤0的解集為[1，2]，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（Ⅱ）若函數h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有兩個不同的零點x₁，x₂，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數的零點

專題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）利用函數g（x）≤0的解集為[1，2]，求出a，再分類討論求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（Ⅱ）分類討論，分離參數，即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數g（x）≤0的解集為[1，2]，
∴-a=3，∴a=-3，
x²-1＞0時，x²-1≤x²-3x+2，∴x＜-1；
x²-1≤0時，-x²+1≤x²-3x+2，∴-1≤x≤

1

2

或x=1；
∴不等式f（x）≤g（x）的解集為{x|x≤

1

2

或x=1}；
（Ⅱ）函數h（x）=f（x）+g（x）+2=|x²-1|+x²+ax+4=0，
x²-1＞0時，-a=2x+

3

x

；x²-1≤0時，-a=

5

x

，
∵函數h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有兩個不同的零點x₁，x₂，
∴由2x+

3

x

≥2

6

，可得-a≥2

6

，
∴a≤-2

6

．

點評：本題考查不等式的解法，考查函數的零點，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．