Question

【題目】已知．

（1）討論的單調性；

（2）已知函數有兩個極值點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增．（2）見解析.

【解析】

（1）先對函數求導，令，求出解為，從而可探究、隨自變量的變化，結合導數與單調性的關系即可求解；

（2）由（1）可知，記，結合基本不等式可證明，從而可知在上單調遞增，則可知，結合 的單調性可證明.

解：（1），記，則．

由， ，解得．

當時，，函數即單調遞減；

當時，，函數即單調遞增．

（2）由題意知有兩個零點，為，不妨設，

由（1）可知，．所以.

記

，則，因為，

由均值不等式可得，

當且僅當，即時，等號成立．所以在上單調遞增．

由，可得，即，

因為為函數的兩個零點，所以，所以，

又，所以，又函數在上單調遞減，

所以，即．