Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：
（1）B₁D₁∥平面BC₁D；   
（2）A₁C⊥B₁D₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由B₁D₁∥BD，得到B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）由已知條件推導出B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，從而B₁D₁⊥平面A₁C₁C，由此能證明A₁C⊥B₁D₁．

解答： 證明：（1）連結BC₁，BD，DC₁，
∵B₁D₁∥BD，
B₁D₁不包含于平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）連結B₁D₁，A₁C₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?A₁B₁C₁D₁，
∴B₁D₁⊥CC₁，
∵A₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C，
又A₁C?平面A₁C₁C，∴A₁C⊥B₁D₁．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．