Question

（12分）（2011•重慶）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°

（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積．
（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）V==
（Ⅱ）

解析試題分析：（I）要求四面體ABCD的體積，必須確定它的高和底面，由已知，△ABC作為底面，高易作，根據線段的長度，即可求得四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）利用三垂線定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根據該角為60°，找到各邊之間的關系，利用平移的方法找出異面直線AD與BC所成角，解三角形，即可求得異面直線AD與BC所成角的余弦值．
解：（I）設F為AC的中點，由于AD=CD，
所以DF⊥AC．
故由平面ABC⊥平面ACD，
知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，
AF=ADcos30°=，
在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，
由勾股定理易知BC=，AB=．
故四面體ABCD的體積V==．
（II）設G，H分別為邊CD，BC的中點，則FG∥AD，GH∥BC，
從而∠FGH是異面直線AD與BC所成角或其補角．
設E為邊AB的中點，則EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，
又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂線定理知DE⊥AB，
所以∠DEF為二面角C﹣AB﹣D的平面角，由題設知∠DEF=60°．
設AD=a，則DF=AD•SsinCAD=，
在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，
取BD的中點M，連EM，FM，由中位線定理得，∠MEF為異面直線AD，BC所成的角，
EM=FM=，由余弦定理得cosMEF===．

點評：此題是個中檔題．考查棱錐的體積公式和異面直線所成角問題，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角時注意三垂線定理及其逆定理的應用，體現了數形結合和轉化的思想．