Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC= ，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2a2=（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，
整理得：bc=b2+c2﹣a2 ，
∴cosA= = ，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=60°；
（Ⅱ）∵A+B+C=180°，A=60°，
∴B+C=180°﹣60°=120°，即C=120°﹣B，
代入sinB+sinC= 得：sinB+sin（120°﹣B）= ，
∴sinB+sin120°cosB﹣cos120°sinB= ，
∴ sinB+ cosB= ，即sin（B+30°）=1，
∴0＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴B+30°=90°，即B=60°，
∴A=B=C=60°，
則△ABC為等邊三角形．
【解析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，然后根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化簡(jiǎn)后求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（Ⅱ）由A為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC= 中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B為60°，可得出三角形ABC三個(gè)角相等，都為60°，則三角形ABC為等邊三角形．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握余弦定理:;;．