Question

【題目】心理學家分析發現視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：（單位：人）

	幾何題	代數題	總計
男同學	22	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

（Ⅰ）能否據此判斷有97．5%的把握認為視覺和空軍能力與性別有關？

（Ⅱ）經過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘，現甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．

（Ⅲ）現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數為，求的分布列及數學期望．

附表及公式

	0．15	0．10	0．05	0．025	0．010	0．005	0．001
	2．072	2．706	3．841	5．024	6．635	7．879	10．828

Answer 1

【答案】（I）有的把握認為視覺和空軍能力與性別有關；（II）；（III）分布列見解析，.

【解析】試題分析：（I）代入公式，計算，所以有的把握認為有關；（II）將問題轉化為線性規劃的為題，兩者解題事件滿足可行域，且滿足“”其中甲、乙解答一道幾何題的時間分別為、分鐘.畫出可行域，利用幾何概型的知識可求得概率為；（III）基本事件的總數為種，分別求出甲、乙兩人沒有一個人被抽到；恰有一人被抽到、兩人都被抽到的概率，由此得到分布列和數學期望.

試題解析：

（Ⅰ）由表中數據得的觀測值

所以根據統計有97．5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關．

（Ⅱ）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為、分鐘，則基本事件滿足的區域為（如圖所示）

設事件為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區域為

由幾何概型即乙比甲先解答完的概率為

（Ⅲ）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有種；恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有種

可能取值為0，1，2，，

，

的分布列為：

．

	0	1	2