【題目】如圖，三棱柱
中， 
， 
， 
.
（Ⅰ）證明： 
；
（Ⅱ）若
，在棱
上是否存在點
，使得二面角
的大小為
，若存在，求
的長，若不存在，說明理由.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位計劃在一水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量
（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立.
（1）求未來3年中，設
表示流量超過120的年數，求的分布列及期望；
（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系：
年入流量 |
|
|
|
發電機最多可運行臺數 | 1 | 2 | 3 |
若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元，若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市垃圾處理站每月的垃圾處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本
（元）與月垃圾處理量
（噸）之間的函數關系可近似地表示為
，且每處理一噸垃圾得到可利用的資源值為100元．
（1）該站每月垃圾處理量為多少噸時，才能使每噸垃圾的平均處理成本最低？
（2）該站每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要市財政補貼，至少補貼多少元才能使該站不虧損？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）若
，證明：函數
在
上單調遞減；
（Ⅱ）是否存在實數
，使得函數
在
內存在兩個極值點？若存在，求實數
的取值范圍；若不存在，請說明理由. （參考數據： 
， 
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
為常數， 
為自然對數的底數．
（1）若
在區間
上的最大值為
，求
的值；
（2）當
時，判斷方程
是否有實根？若無實根請說明理由，若有實根請給出根的個數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】心理學家分析發現視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：（單位：人）
幾何題 | 代數題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
（Ⅰ）能否據此判斷有97．5%的把握認為視覺和空軍能力與性別有關？
（Ⅱ）經過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘，現甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數為
，求的分布列及數學期望
．
附表及公式
| 0．15 | 0．10 | 0．05 | 0．025 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
| 2．072 | 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879 | 10．828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】園林管理處擬在公園某區域規劃建設一半徑為
米，圓心角為
（弧度）的扇形觀景水池，其中
， 
為扇形
的圓心，同時緊貼水池周邊(即： 
和
所對的圓弧)建設一圈理想的無寬度步道.要求總預算費用不超過24萬元，水池造價為每平方米400元，步道造價為每米1000元.
(1)若總費用恰好為24萬元，則當
和
分別為多少時，可使得水池面積最大，并求出最大面積；
(2)若要求步道長為105米，則可設計出的水池最大面積是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝(2－a)lnx＋
＋2ax.
(1)當a<0時，討論f(x)的單調性；
(2)若對任意的a∈(－3，－2)，x1，x2∈[1,3]，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>|f(x1)－f(x2)|成立，求實數m的取值范圍．
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