Question

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）判斷曲線是否位于軸下方，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）求導，得到切線斜率，利用點斜式得到直線的方程；（2）“要證明”等價于“”，構造新函數確定函數的最小值大于等于；（3）曲線是位于軸下方即證明)，利用（Ⅱ）可知，轉證即可.

試題解析：

函數的定義域為，

.

（Ⅰ），又，

曲線在處的切線方程為

，

即.

（Ⅱ）“要證明”等價于“”

設函數.

令，解得.

因此，函數的最小值為.故.

即.

（Ⅲ）曲線位于軸下方. 理由如下：

由（Ⅱ）可知，所以.

設，則.

令得；令得.

所以在上為增函數， 上為減函數.

所以當時， 恒成立,當且僅當時， .

又因為， 所以恒成立.

故曲線位于軸下方.