Question

【題目】等差數列的前項和為，數列滿足：，，當時，，且，，成等比數列，.

（1）求數列，的通項公式；

（2）求證：數列中的項都在數列中；

（3）將數列、的項按照：當為奇數時，放在前面：當為偶數時，放在前面進行“交叉排列”，得到一個新的數列：，，，，，，…這個新數列的前和為，試求的表達式.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）當時，；當時，；當時，.

【解析】

（1）根據等差數列通項公式，即可由基本量計算求得首項與公差，進而求得數列的通項公式與前n項和；根據等比中項定義，結合數列的前n項和，代入化簡可求得數列的通項公式；

（2）根據數列，的通項公式，即可證明數列中的項都在數列中；

（3）由數列的通項公式，代入由裂項求和法可得的前n項和，再對分類討論，即可確定新數列的前和的表達式.

（1）為等差數列，設公差為，

，，

所以，解得，

所以由等差數列通項公式可得；

等差數列的前項和為，

所以，

當時，，且，，成等比數列，.

所以，

則，即，

化簡可得，當時也成立，

所以.

（2）證明：由（1）可知，，

則，

所以數列中的項都在數列中；

（3）由（1）可知，

則，

所以數列的前n項和為，

當時，，

當（）時，，經檢驗當時也成立，

當時，，

綜上所述，當時，；

當時，；

當時，.