【題目】已知拋物線
的焦點為
，準線
與
軸交于點
，點
在拋物線上，直線
與拋物線
交于另一點
.
（1）設直線
，
的斜率分別為
，
，求證：
常數；
（2）①設
的內切圓圓心為
的半徑為
，試用表示點
的橫坐標
；
②當的內切圓的面積為
時，求直線
的方程.
【答案】（1）證明見解析；（2）①
；②
.
【解析】
（1）設過
的直線
交拋物線于
，
，聯立
，利用直線的斜率公式和韋達定理表示出
，化簡即可；
（2）由（1）知點
在
軸上，故
，設出直線
方程，求出交點
坐標，因為內心到三角形各邊的距離相等且均為內切圓半徑，列出方程組求解即可.
（1）設過的直線交拋物線于，，
聯立方程組
，得：
.
于是，有：
，
又
，
；
（2）①由（1）知點在軸上，故，聯立的直線方程：
.
，又點在拋物線上，得
，
又
，
；
②由題得，
（解法一）
所以直線
的方程為
（解法二）
設內切圓半徑為
，則
.設直線
的斜率為
，則：
直線
的方程為：
代入直線的直線方程，
可得
于是有：
得
，
又由（1）可設內切圓的圓心為
則
，
即：
，解得：
所以，直線的方程為：.
期末1卷素質教育評估卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】等差數列
的前
項和為
，數列
滿足：
，
，當
時，
，且，
，
成等比數列，
.
（1）求數列，的通項公式；
（2）求證：數列中的項都在數列中；
（3）將數列、
的項按照：當為奇數時，
放在前面：當為偶數時，
放在前面進行“交叉排列”，得到一個新的數列：
，
，
，
，
，
，…這個新數列的前和為
，試求的表達式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，
且滿足:
(1)證明：是等比數列，并求數列的通項公式.
(2)設
，若數列
是等差數列，求實數
的值；
(3)在(2)的條件下，設
記數列
的前項和為
，若對任意的
存在實數
,使得
,求實數的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB、PA、PBC分別為⊙O的切線和割線，切點A是BD的中點，AC、BD相交于點E，AB、PE相交于點F，直線CF交⊙O于另一點G、交PA于點K.
證明：（1）K是PA的中點；（2）
..
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種設備隨著使用年限的增加，每年的維護費相應增加現對一批該設備進行調查，得到這批設備自購入使用之日起，前5年平均每臺設備每年的維護費用大致如下表：
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護費 | 1.1 | 1.6 | 2 | 2.5 | 2.8 |
（1）在這5年中隨機抽取兩年，求平均每臺設備每年的維護費用至少有1年多于2萬元的概率；
（2）求
關于
的線性回歸方程．若該設備的價格是每臺16萬元，你認為應該使用滿五年換一次設備，還是應該使用滿八年換一次設備？請說明理由．
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程
的系數公式
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場為了了解顧客的購物信息，隨機在商場收集了
位顧客購物的相關數據如下表：
一次購物款（單位：元） |
|
|
|
|
|
顧客人數 |
|
|
|
|
|
統計結果顯示
位顧客中購物款不低于
元的顧客占
，該商場每日大約有
名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次購物不低于
元的顧客發放紀念品.
（Ⅰ）試確定
， 
的值，并估計每日應準備紀念品的數量；
（Ⅱ）現有
人前去該商場購物，求獲得紀念品的數量
的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是（ ）
A.“
”是“點
到直線
的距離為3”的充要條件
B.直線
的傾斜角的取值范圍為
C.直線
與直線
平行，且與圓
相切
D.離心率為
的雙曲線的漸近線方程為
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