Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：，

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，求出單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）得函數(shù)函數(shù)在內(nèi)的最小值為，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在恒成立即可.

（1）,因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

函數(shù)在內(nèi)的最小值為，

要證：不等式成立，

即證：，

即證：，，

即證：，

令，

則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，，因?yàn)?/span>，

則，即當(dāng)時(shí)，成立

則當(dāng)時(shí)，成立.