Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（t為參數）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）設點P為曲線C上的動點，點M，N為直線上的兩個動點，若是以為直角的等腰三角形，求直角邊長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲線C：，直線：；（2）

【解析】

(1)根據參數方程中相等的原則求解出直線的普通方程，根據寫出曲線的直角坐標方程；

(2)根據等腰直角三角形的直角邊長等于直角頂點到底邊的長度的倍，將點設為參數形式并利用點到直線的距離公式以及三角函數的有界性求解出最小值.

（1）曲線C可化為：

曲線C的直角坐標方程為，即

直線的普通方程為：

（2）由（1）可設C的參數方程為（為參數），

則點P到直線的距離為：

要使是以為直角的等腰三角形，則直角邊長為.

所以，當時，直角邊長取最小值.