Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)，分，兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，即得解；

（2）由，構(gòu)造，結(jié)論，可轉(zhuǎn)化為

，構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性研究單調(diào)性，即可證.

（1），，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，令，解得，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間

上是增函數(shù).

綜上得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）由題意得，.

因?yàn)?/span>，是方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以

，兩式相減得，解得.

要證：，即證：，即證：，

即證：，

令（因?yàn)?/span>），則只需證.

設(shè)，∴；

令，∴，在上為減函數(shù)，

∴，∴，在為增函數(shù)，.

即在上恒成立，∴.