Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣axlnx（a∈R）在x=1處的切線方程為y=bx+1+ （b∈R）．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）＜ ．
（3）若正實數m，n滿足mn=1，證明： + ＜2（m+n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= ﹣axlnx的導數為f′（x）= ﹣alnx﹣a，

由題意可得f′（1）=b=﹣a，f（1）= =b+1+ ，

解得a=1，b=﹣1；

（2）解：證明：f（x）= ﹣xlnx＜ ，即為 ﹣ ＜xlnx，

令g（x）= ﹣ ，g′（x）= ，

則g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

g（x）的最大值為g（1）=﹣ ，當且僅當x=1時等號成立．

又令h（x）=xlnx，則h′（x）=1+lnx，

則h（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

則h（x）的最小值為h（ ）=﹣ ，當且僅當x= 等號成立，

因此 ﹣ ＜xlnx，即f（x）＜

（3）解：證明：由（2）可得 ﹣mlnm＜ ，即 ﹣lnm＜ ，

兩邊同乘以e，可得 ﹣elnm＜ ，

同理可得， ﹣elnn＜ ，

兩式相加，可得： ＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+ =2（m+n）．

故 ＜2（m+n）

【解析】（1）求得f（x）的導數，可得斜率，解方程可得a，b；（2）由題意可得即證 ﹣ ＜xlnx，令g（x）= ﹣ ，求出導數，單調區間，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得證；（3）由（2）可得 ﹣mlnm＜ ，即 ﹣lnm＜ ，兩邊乘以e，可得一不等式，同理可得， ﹣elnn＜ ，兩式相加結合條件，即可得證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．