Question

【題目】設函數，().

（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數am的值；

（2）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論；

（3）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）不可能有三個不同的實根，證明見解析. （3）

【解析】

（1）求導根據導數等于斜率，過點計算得到答案.

（2）討論，得到在至多1個實根，得到答案.

（3）不等式等價于，令，則，根據單調性得到答案.

（1），則，故，，

解得，.

（2）不可能有三個不同的實根，證明如下：

令，

如果有三個不同的實根，則至少要有三個單調區間，

則至少兩個不等實根，所以只要證明在至多1個實根，

，，

1°當時，，，∴，∴在單調遞增，∴在至多1個實根；

2°當時，，∴在單調遞增，

∴，又因為時，∴，

∴在沒有實根

綜合1°2°可知，在至多1個實根，所以得證.

（3）∵對任意恒成立，且，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

令，

則對任意恒成立，

∵時，且，，

∴在單調遞增∴在恒成立，

∴.