Question

【題目】已知六面體如圖所示，平面，，，，，，是棱上的點，且滿足.

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，設，連接.通過證明，證得直線平面.

（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的正弦值.

（1）連接，設，連接，

因為，所以，所以，

在中，因為，

所以，且平面，

故平面.

（2）因為，，，，，所以，

因為，平面，所以平面，

所以，，

取所在直線為軸，取所在直線為軸，取所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由已知可得，，，，

所以，因為，

所以，

所以點的坐標為，

所以，，設為平面的法向量，

則，令，解得，，

所以，即為平面的一個法向量.

，

同理可求得平面的一個法向量為

所以

所以二面角的正弦值為