Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點，當直線與軸垂直時，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當直線與軸不垂直時，在軸上是否存在一點（異于點），使軸上任意點到直線，的距離均相等？若存在，求點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點

【解析】

（1）由題意可得方程解方程后即可得解；

（2）設直線，，，假設存在點，設，由題意，聯立方程組表示出、，代入即可得解.

（1）由題意得，解得:，，.

所以橢圓的標準方程為：.

（2）依題意，若直線的斜率不為零，可設直線，，.

假設存在點，設，由題設，，且，.

設直線，的斜率分別為，，

則，.

因為，在上，

故，，

而軸上任意點到直線，距離均相等等價于“平分”，

繼而等價于.

則.

聯立，消去得：，

有，.

則，

即，故或（舍）.

當直線的斜率為零時，也符合題意.

故存在點，使得軸上任意點到直線，距離均相等.