Question

【題目】某地擬建造一座體育館，其設計方案側面的外輪廓線如圖所示：曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中，是圓的切線，且，曲線是拋物線的一部分，，且恰好等于圓的半徑.

（1）若米，米，求與的值；

（2）若體育館側面的最大寬度不超過75米，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）根據拋物線方程求得，從而可得半徑，即，進而解得；通過圓的方程求得點坐標，從而得到點坐標，代入拋物線方程求得；（2）求解出點坐標后，可知，可整理為，利用基本不等式可求得的最大值，從而可得的范圍.

（1）由拋物線方程得：

又，均為圓的半徑 ，則

圓的方程為：

，則

代入拋物線方程得：，解得：

（2）由題意知，圓的半徑為：，即

則點縱坐標為，代入拋物線方程可得：，即

，整理可得：

（當且僅當時取等號）

即的取值范圍為：