Question

（2012•甘谷縣模擬）（理） 設數列{a_n}為正項數列，其前n項和為S_n，且有a_n，s_n，

a

2 n

成等差數列．（1）求通項a_n；（2）設f(n)=

sn

(n+50)sn+1

求f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據a_n，s_n，

a

2 n

成等差數列，可得2S_n=a_n+

a

2 n

，再寫一式，兩式相減，可得{a_n}是公差為1的等差數列，從而可求通項a_n；
（2）由（1）知，Sn=

n(n+1)

2

，從而f(n)=

Sn

(n+50)Sn+1

=

1

n+ 100 n +52

，利用基本不等式，即可求f（n）的最大值．

解答：解：（1）∵a_n，s_n，

a

2 n

成等差數列
∴2S_n=a_n+

a

2 n

，
∴n≥2時，2S_n-1=a_n-1+

a

2 n-1

，
兩式相減得：2a_n=a_n²+a_n-

a

2 n-1

-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵數列{a_n}為正項數列，∴a_n-a_n-1=1
即{a_n}是公差為1的等差數列
又2a₁=a₁²+a₁，∴a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）知，Sn=

n(n+1)

2

，
∴f(n)=

Sn

(n+50)Sn+1

=

n

n2+52n+100

=

1

n+ 100 n +52

≤

1

72

當且僅當n=10時，f（n）有最大值

1

72

．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，解題的關鍵是確定數列為等差數列，利用基本不等式求最值．