Question

（2012•甘谷縣模擬）（文）數列{a_n}滿足an+1=

n+2

n

an（n∈N^*），且a₁=1．（1）求通項a_n；（2）記bn=

1

an

，數列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由∴

an+1

an

=

n+2

n

，利用疊乘法可求數列的通項
（2）由bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項相消法可求數列的和

解答：解（1）∵an+1=

n+2

n

an，
∴

an+1

an

=

n+2

n

∵a₁=1
∴

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

4

2

…

an

an-1

=

n+1

n-1

以上n-1個式子相乘可得，

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=

3

1

×

4

2

×

5

3

…

n-1

n-3

×

n

n-2

×

n+1

n-1

∴

an

a1

=

n(n+1)

1×2

∴a_n=

n(n+1)

2

（2）∵bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
S_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

點評：本題主要考查了數列的通項公式求解中的疊乘法及數列求和的裂項相消法的應用．