Question

已知圓C的方程為：x²+y²=4．
（1）求過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設出切線方程，利用點到直線的距離等于半徑，求出k，即可求出過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）通過弦長|AB|=2

3

，半徑與弦心距滿足勾股定理，求出直線的斜率，然后求直線l的方程．

解答：解　（1）顯然直線l的斜率存在，設切線方程為y-2=k（x-1），…（1分）
則 

|2-k|

k2+1

=2   …（2分）       
 解得，k₁=0，k₂=-

4

3

，…（3分）
故所求的切線方程為y=2或4x+3y-10=0．…（5分）
（2）當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，
l與圓的兩個交點坐標為（1，

3

）和（1，-

3

），
這兩點的距離為2

3

，滿足題意；…（7分）
當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y-2=k（x-1），…（8分）
即kx-y-k+2=0，
設圓心到此直線的距離為d，則2

3

=2

4-d2

，∴d=1，…（9分）
∴1=

|-k+2|

k2+1

，∴k=

3

4

，…（10分）
此時直線方程為3x-4y+5=0，…（11分）
綜上所述，所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1．…（12分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，圓的切線方程的求法，考查計算能力，注意直線的斜率不存在的情況．