Question

某觀測站C在城A的南偏西20°方向上，從城A出發有一條公路，走向是南偏東40°，在距C處31公里的公路上的B處有一個人正沿著公路向城A走去，走20公里后到達D處，測得CD=21公里，求這時此人距城A多少公里？某同學甲已經由余弦定理求得cos∠CDB=-

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Answer 1

分析：依題意，可求得∠A=60°，由cos∠CDB=-

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可求得cos∠CDA與sin∠CDA，利用兩角差的正弦可求得sin∠ACD，再利用正弦定理即可求得AD．

解答：解：依題意，∠CAD=40°+20°=60°，
∵cos∠CDB=-

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7

，
∴sin∠CDB=sin∠CDA=

4 3

7

，
在△ACD中，∠ACD=180°-∠A-∠CDA=180°-60°-∠CDA=120°-∠CDA，
∴sin∠ACD=sin（120°-∠CDA）
=sin120°cos∠CDA-cos120°sin∠CDA
=

3

2

×

1

7

-（-

1

2

）×

4 3

7

=

5 3

14

．
由正弦定理得：

AD

sin∠ACD

=

21

sin∠A

，
∴AD=

21

3 2

×

5 3

14

=15（km）．
答：這時此人距城A15公里．

點評：本題考查解三角形，著重考查正弦定理與三角函數間的關系，考查兩角差的正弦，求得sin∠ACD是關鍵，也是難點，屬于中檔題．