Question

某觀測站C在城A的南20°西的方向上，由A城出發有一條公路，走向是南40°東，在C處測得距C為31千米的公路上B處，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到達D處，此時C、D間距離為21千米，問這人還需走多少千米到達A城？

Answer 1

分析：根據題意可分別求得BC，BD，CD和∠CAB，設∠ACD=α，∠CDB=β．在△CDB中利用余弦定理求得cosβ的值，進而利用同角三角函數的基本關系求得sinβ的值，進而利用sinα=sin（β-20°-40°）利用兩角和公式展開，最后在△ACD中，由正弦定理得答案．

解答：解：根據題意得，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60?．
設∠ACD=α，∠CDB=β．
在△CDB中，由余弦定理得cosβ=

CD2+BD2-BC2

2•CD•BD

=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

，
于是sinβ=

1-cos2β

=

4 3

7

．
sinα=sin（β-20°-40°）=sin（β-60°）
=sinβcos60°-cosβsin60°=

4 3

7

×

1

2

+

1

7

×

3

2

=

5 3

14

．
在△ACD中，由正弦定理得AD=

CD

sinA

•sinα=

21

sin60°

•

5 3

14

=

21

3 2

×

5 3

14

=15(千米)．
答：此人還得走15千米到達A城．

點評：本題主要考查了解三角形問題的問題．考查了學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力．