Question

如圖，某觀測站C在城A的南偏西20°方向上，從城A出發有一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得距離C處31千米的公路上的B處有一輛正沿著公路向城A駛去，行駛了20千米后到達D處，測得C、D二處間距離為21千米，這時此車距城A多少千米？

Answer 1

分析：根據題意可知CD，BC，BD在△BCD中，由余弦定理求得cos∠BDC，進而設∠ADC=α，則sinα，cosα可求，在△ACD中，由正弦定理求得得AD，答案可得．

解答：解：在△BCD中，CD=21，BD=20，BC=31，由余弦定理得cos∠BDC=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

，
所以sin∠BDC=

1-cos2∠BDC

=

4 3

7

．
在△ACD中，CD=21，∠CAD=20°+40°=60°，sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDC•cos60°-cos∠BDC•sin60°=

5 3

14

．
由正弦定理得AD=

CD•sin∠ACD

sin∠CAD

=

21• 5 3 14

3 2

=15（千米）．
所以此車距城A有15千米．

點評：本題主要考查了解三角新的實際應用．解題的關鍵是利用正弦定理，利用邊和角的關系求得答案．