Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，，為線段的中點．

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）根據為正三角形及為線段的中點可知，再由所給線段長度及勾股定理逆定理證明，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）以為原點，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，結合可求得的坐標，由空間向量法求得平面的法向量及平面的法向量，由空間向量法即可求得二面角的余弦值，進而求得二面角的大小．

（1）證明：連接，如下圖所示：

∵是邊長為2的正三角形，且是中點，

∴，，

又∵是邊長為2的菱形，，

∴是正三角形，，

又∵，

∴，即，又，，

∴平面．

（2）由（1）可得：以為原點，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系如下圖所示

則，，，，．

設點坐標為，由，得

，

∴，

∴，，

設平面的法向量為，

則，令z=1，得．

∵平面，

∴平面的法向量，

∴，

由空間結構體圖形可知，二面角為銳二面角，

∴二面角的大小為．