Question

【題目】已知中心在坐標原點的橢圓 的長軸的一個端點是拋物線 的焦點，且橢圓 的離心率是 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）過點 的動直線與橢圓 相交于 兩點.若線段 的中點的橫坐標是 ，求直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題知橢圓 的焦點在 軸上，且 ，

又 ，故 ，

故橢圓 的方程為 ，即 .

（2）解：依題意，直線 的斜率存在，設直線 的方程為 ，將其代入 ，

消去 ，整理得 .

設 兩點坐標分別為 ， .

則

由線段 中點的橫坐標是 ，得 ，

解得 ，符合（*）式.

所以直線 的方程為 或 .

【解析】（1）由已知條件得到關于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓方程。
（2）將直線方程代入到橢圓方程中，消去y得關于x的一元二次方程，由韋達定理得到兩根之和就是弦中點的橫坐標，從而 求出直線的斜率得到方程。