Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

設函數，.

（Ⅰ）當時，求函數的極小值；

（Ⅱ）討論函數零點的個數；

（Ⅲ）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為2.（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ） 時， ，利用 判定 的增減性并求出的極小值；（Ⅱ）由函數 ，令 ，求出 ；設 ，求出 的值域，討論的取值，對應 的零點情況；（Ⅲ）由 恒成立，等價于 恒成立；即 在 上單調遞減， ，求出的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題設，當時，，易得函數的定義域為，

.∴當時，，在上單調遞減；

∴當時，，在上單調遞增；所以當時，取得極小值，所以的極小值為2.

（Ⅱ）函數，令，得.

設，則.

∴當時，，在（0,1）上單調遞增；

∴當時，，在上單調遞減；

所以的最大值為，又，可知：

①當時，函數沒有零點；

②當時，函數有且僅有1個零點；

③當時，函數有2個零點；

④當時，函數有且只有1個零點.

綜上所述：

當時，函數沒有零點；當或時，函數有且僅有1個零點；當時，函數有2個零點.

（Ⅲ）對任意，恒成立，等價于恒成立. .

設，∴等價于在上單調遞減.

∴在上恒成立，

∴恒成立，

∴（對，僅在時成立）.

∴的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題（Ⅲ）是利用方法 ① 求得 的范圍.