Question

【題目】已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，

（1）求圓C關于直線對稱的圓的方程；

（2）問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得弦AB，且以AB為直徑的圓經過點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）關鍵求圓心關于直線的對稱點，根據垂直平分條件列方程組，解方程組可得圓心坐標，即得圓方程（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋b，．以AB為直徑的圓過， ，利用向量數量積以及直線方程可得，再聯立直線方程與圓方程，利用韋達定理代入解得,即得直線l的方程

試題解析：（1）圓C的方程可化為　，

設圓心C關于m對稱的點為，則解得

所以圓C關于直線對稱的圓的方程為

（Ⅱ）設直線l的方程為y＝x＋b，則

消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.

由題知，Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)>0，

即b2＋6b－9<0 ①

設此方程兩根為x1，x2，則A(x1，y1)，B(x2，y2)．

則x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.

∵以AB為直徑的圓過，

又

解得

經檢驗均滿足①式

∴存在這樣的直線為