Question

【題目】已知p：x∈R，cos2x﹣sinx+2≤m；q：函數 在[1，+∞）上單調遞減．
（I）若p∧q為真命題，求m的取值范圍；
（II）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：若p為真，
令f（x）=cos2x﹣sinx+2，則m≥f（x）min ，
又f（x）=cos2x﹣sinx+2=cos2x﹣sinx+2=﹣2sin2x﹣sinx+3
又﹣1≤sinx≤1，
所以sinx=1時，
f（x）min=0，
所以m≥0
若q為真：
函數 在[1，+∞）上單調遞減，
則 ，
所以m≤4
①若p∧q為真，則p，q均為真，所以m∈[0，4]；②若p∨q為真，p∧q為假，則p，q一真一假，即 即m＞4
或 即m＜0
所以m的取值范圍為（﹣∞，0）∪（4，+∞）
【解析】先求出命題p，q為真時，m的取值范圍，（ I）若p∧q為真命題，求兩個范圍的交集即可得到m的取值范圍；（ II）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假，進而可得m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．