Question

【題目】數列{an}的前n項和為Sn ， 若對于任意的正整數n都有Sn=2an﹣3n．
（1）設bn=an+3，求證：數列{bn}是等比數列，并求出{an}的通項公式；
（2）求數列{nan}的前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an﹣3n，對于任意的正整數都成立，

∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，

兩式相減，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，

∴an+1+3=2（an+3），

所以數列{bn}是以2為公比的等比數列，

由已知條件得：S1=2a1﹣3，a1=3．

∴首項b1=a1+3=6，公比q=2，

∴an=62n﹣1﹣3=32n﹣3

（2）解：∵nan=3×n2n﹣3n

∴Sn=3（12+222+323+…+n2n）﹣3（1+2+3+…+n），

2Sn=3（122+223+324+…+n2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），

∴﹣Sn=3（2+22+23+…+2n﹣n2n+1）+3（1+2+3+…+n）

=

∴Sn=

【解析】（1）通過遞推關系式求出an與an+1的關系，推出{an+3}即數列{bn}是等比數列，求出數列{bn}的通項公式即可求出{an}的通項公式；（2）寫出數列{nan}的通項公式，然后寫出前n項和的表達式通過錯位相減法求解即可．