Question

下列命題中，假命題是（　�。�

• A、若a，b∈R且a+b=1，則a•b≤

  1

  4

• B、若a，b∈R，則

  a2+b2

  2

  ≥（

  a+b

  2

  ）²≥ab恒成立
• C、

  x2+3

  x2+1

  （x∈R） 的最小值是2

  2

• D、?x₀，y₀∈R，x₀²+y₀²+x₀y₀＜0

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：A．a，b∈R且a+b=1，考慮a，b＞0時，利用基本不等式可得1≥2

ab

；
B．a，b∈R，由a²+b²≥2ab，可得2（a²+b²）≥（a+b）²，即可得出

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²≥ab；
C．變形利用基本不等式

x2+3

x2+1

=

x2+1

+

2

x2+1

≥2

2

，即可；
D．由于x₀²+y₀²+x₀y₀=(x0+

1

2

y0)2+

3

4

y

2 0

＞0．即可判斷出．

解答： 解：A．a，b∈R且a+b=1，考慮a，b＞0時，1≥2

ab

，則a•b≤

1

4

正確；
B．a，b∈R，∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥（a+b）²，則

a2+b2

2

≥（

a+b

2

）²≥ab恒成立；
C.

x2+3

x2+1

=

x2+1

+

2

x2+1

≥2

2

，當且僅當x²=1時取等號，因此

x2+3

x2+1

（x∈R） 的最小值是2

2

，正確；
D．x₀²+y₀²+x₀y₀=(x0+

1

2

y0)2+

3

4

y

2 0

≥0．∴不?x₀，y₀∈R，使得x₀²+y₀²+x₀y₀＜0成立．
綜上可知：只有D是假命題．
故選；D．

點評：本題考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．