Question

已知拋物線y²=4x的焦點F是等腰直角△ABF的直角頂點，A，B在拋物線上，
（1）求證：A，B關于x軸對稱；
（2）求△ABF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y²=4x的焦點F是等腰直角△ABF的直角頂點，可得|AF|=|BF|，由此可得結論；
（2）求出A的坐標，即可求得三角形的面積．

解答：（1）證明：∵拋物線y²=4x的焦點F是等腰直角△ABF的直角頂點，
∴|AF|=|BF|
∴A、B到準線的距離相等
∴A、B兩點的橫坐標相等
∴A、B兩點的縱坐標相反
∴A、B關于x軸對稱；
（2）解：由題意，設A（x，y），則|y|=|x-1|
∵y²=4x，∴|x-1|²=4x
∴x²-6x+1=0
∴x=3±2

2

x=3+2

2

時，|y|=2+2

2

，∴△ABF的面積為（2+2

2

）²=12+8

2

；
x=3-2

2

時，|y|=2

2

-2，∴△ABF的面積為（2

2

-2）²=12-8

2

．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．