Question

【題目】已知集合P的元素個數為個且元素為正整數，將集合P分成元素個數相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A、B、C，即 ，，，，其中 ，， 若集合A、B、C中的元素滿足 ，，，2，，則稱集合P為“完美集合”．

若集合2，，2，3，4，5，，判斷集合P和集合Q是否為“完美集合”？并說明理由；

已知集合x，3，4，5，為“完美集合”，求正整數x的值；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)討論集合A與集合B，根據完美集合的概念知集合C，根據ak+bk=ck ,可依次判斷集合P與Q是否為完美集合；（2）討論集合AB,根據完美集合的定義，建立等式求x的值.

（1）集合P＝2，為“完美集合”，

令A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}．

則集合A、B、C中的元素滿足ak+bk＝ck，

集合Q＝2，3，4，5，不是“完美集合”，

若集合Q為“完美集合”，

則C中元素最小為3，

若C的最小元素為3，則a1+b1＝1+2＝3，

a2+b2＝4+5＝c2＝6不可能成立，

若C的最小元素為4，則a1+b1＝1+3＝4，

a2+b2＝2+5＝c2＝6不可能成立，

若C的最小元素為5，則a1+b1＝1+4＝5，

a2+b2＝2+3＝c2＝6不可能成立，

綜上可得集合Q＝{1,2，3，4，5，6}不是“完美集合”

（2）由（1）可得x≠2，

若A＝{1，3}，4∈B，則5∈C，6∈B，x＝3+6＝9∈C滿足“完美集合”的定義；

若A＝{1，3}，5∈B，則6∈C，5∈B，x＝3+5＝8∈C滿足“完美集合”的定義；