Question

【題目】已知各項均不相等的等差數列{an}的前四項和S4=14，且a1 ， a3 ， a7成等比數列． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設Tn為數列{ }的前n項和，若Tn≤λan+1對n∈N*恒成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）設公差為d，由已知得： ， 即 ，
解得：d=1或d=0（舍去），
∴a1=2，
故an=2+（n﹣1）=n+1；
（II）∵ = ，
∴Tn= ，
∵Tn≤λan+1對n∈N*恒成立，即 ≤λ（n+2），λ≥ n∈N*恒成立，
又 = ，
∴λ的最小值為 ．
【解析】（I）設出此等差數列的公差為d，根據等差數列的前n項和公式化簡S4=14得到關于首項和公差的關系式，又a1 ， a3 ， a7成等比數列，根據等比數列的性質得到關于首項和公差的另一關系式，兩關系式聯立即可求出首項和公差，根據首項和公差寫出等差數列{an}的通項公式即可；（II）把（I）中求出的數列{an}的通項公式代入數列中，根據 ，列舉出數列的前n項和的每一項，抵消后得到Tn的通項公式，將求出的Tn的通項公式和an+1的通項公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一個關系式，利用基本不等式求出這個關系式的最大值，即可得到實數λ的最小值．