Question

在y=2^x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數中，當0＜x₁＜x₂＜1時，使f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立的函數的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：函數f（x）只有在區間（0，1）上的函數圖象是上凸型的，才能滿足f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，由于函數y=2^x、y=x²、y=cos2x 區間（0，1）上的圖象是下凹型的，只有y=log₂x在區間（0，1）上的圖象是上凸型的，從而得出結論．

解答：解：函數f（x）只有在區間（0，1）上的函數圖象是上凸型的，才能滿足f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，
由于函數y=2^x在區間（0，1）上的圖象是下凹型的，故不滿足條件．
由于y=log₂x在區間（0，1）上的圖象是上凸型的，故滿足條件．
由于函數 y=x²在區間（0，1）上的圖象是下凹型的，故不滿足條件．
由于函數 y=cos2x 在區間（0，1）上的圖象是下凹型的，故不滿足條件．
故選B．

點評：本題主要考查函數的圖象特征，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．