Question

已知對應任意的自然數n，拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸相交于A，B兩點，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先確定A_n，B_n的坐標，代入兩點間的距離公式可得到|A_nB_n|的關系式，然后代入，利用疊加法，即可求得結論．

解答： 解：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
∴由y=0得x=

1

n

或x=

1

n+1

∴A_n（

1

n+1

，0），B_n（

1

n

，0），
∴|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案為：

2014

2015

．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查學生分析問題與轉化求解的能力，屬于中檔題．