Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM與y軸交于點P．

（Ⅰ）若點P在橢圓C的內部，求直線AM的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設橢圓C的右焦點為F，點Q在y軸上，且AQ∥BM，求證：∠PFQ為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）kAM∈（，0）（0，）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出橢圓的方程，再根據點在其內部，即可求得直線AM的斜率的取值范圍，（Ⅱ）題意F（，0），M（x0，y0），可得直線AM的方程，求出點P的坐標，再根據直線平行，求出直線AQ的方程，求出Q的坐標，根據向量的數量積即可求出0，即可證明．

Ⅰ）由題意可得c2＝a2﹣2，∵e，∴a＝2，c，∴橢圓的方程為1，

設P（0，m），由點P在橢圓C的內部，得m，又∵A（﹣2，0），

∴直線AM的斜率kAM∈（，），又M為橢圓C上異于A，B的一點，

∴kAM∈（，0）（0，），

（Ⅱ）由題意F（，0），M（x0，y0），其中x0≠±2，則1，

直線AM的方程為y（x+2），令x＝0，得點P的坐標為（0，），

∵kBM=kAQ，∴直線AQ的方程為y（x+2），

令x＝0，得點Q的坐標為（0，），由（，），（，），

∴20，∴⊥，即∠PFQ＝90°，

故∠PFQ為定值