Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別是、，離心率，過點的直線交橢圓于、兩點， 的周長為16．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點，圓： （）與橢圓交于、兩點，點為橢圓上一動點，若直線、與軸分別交于、兩點，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據的周長為16，可得，再根據離心率，得出，從而可得橢圓的方程；（2）根據圓及橢圓的對稱性可得， 兩點關于軸對稱，設， ，則，從而得出直線的方程，即可得到點的橫坐標，同理可得點的橫坐標，從而列出的表達式，化簡求值即可得到定值.

試題解析：（1）由題意得，則，

由，解得，

則，所以橢圓的方程為．

（2）證明：由條件可知， ， 兩點關于軸對稱，設， ，則，由題可知， ，

∴， ．

又直線的方程為，令得點的橫坐標，

同理可得點的橫坐標.

∴ ，即為定值．